 |
| Belajar Barisan Aritmatika |
Dalam ilmu Matematika, ada istilah yang dikenal sebagai barisan aritmatika dan deret aritmatika. Keduanya saling terkait satu sama lain dan tidak bisa dipisahkan.
Secara umum, aritmatika merupakan bagian dari Matematika yang meliputi operasi dasar bilangan, seperti perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan.
Terlepas dari istilah barisan dan deret, pertanyaan khusus yang akan dijawab adalah apa itu barisan aritmatika?
Pengertian Barisan Aritmatika
Dalam singkatnya, barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang mengikuti pola tetap berdasarkan operasi pengurangan atau penjumlahan. Karena itu, setiap urutan suku bilangan akan memiliki selisih yang besarnya sama yang disebut dengan beda (disingkat b) secara umum. Berikut adalah contoh barisan aritmatika:
- Suku pertama yaitu angka 2, disimbolkan dengan U1 atau secara matematis dinyatakan sebagai a
- Suku kedua yaitu angka 5, disimbolkan dengan U2
- Suku ketiga yaitu angka 8, disimbolkan dengan U3 dan seterusnya
Dari contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmatika berturut-turut adalah 2, 5, dan 8. Selisih antara angka 2 dan angka 5 adalah 3 dan begitu juga antara angka 5 dan angka 8.
Macam Barisan Aritmatika
Perlu diketahui bahwa barisan aritmatika tidak hanya terbagi menjadi dua jenis, yaitu barisan naik dan turun, tetapi juga dapat dibagi menjadi tiga jenis, yaitu barisan tetap, naik, dan turun. Barisan tetap adalah barisan bilangan dimana semua bilangan memiliki nilai yang sama.
Sedangkan barisan naik adalah barisan bilangan dimana beda antara setiap bilangan adalah positif dan bilangan-bilangannya terus bertambah. Contohnya adalah barisan 7, 14, 21, 28, 35, dimana bedanya adalah 7 dan setiap bilangan bertambah sebanyak 7.
Selain itu, barisan turun adalah barisan bilangan dimana beda antara setiap bilangan adalah negatif dan bilangan-bilangannya semakin kecil. Misalnya barisan 45, 40, 35, 30, dimana bedanya adalah 5 dan setiap bilangan berkurang sebanyak 5.
Jadi, selain memiliki beda yang sama, barisan aritmatika juga dapat dibagi berdasarkan apakah bedanya positif atau negatif, yaitu barisan naik atau barisan turun. Dengan menjelaskannya dalam tiga jenis, diharapkan dapat semakin memahami konsep barisan aritmatika.
Rumus Barisan Aritmatika dan Contoh Soal Barisan Aritmatika Tingkat Mudah
Suku-suku dalam barisan aritmatika dapat diidentifikasi menggunakan label U1, U2, U3, …, Un, dengan Un menunjukkan suku ke-n. Untuk menghitung nilai suku ke-n (Un), kita dapat menggunakan rumus berikut tanpa perlu melakukan perhitungan manual:
Un = a + (n-1) * b
Dimana a menunjukkan suku pertama dalam barisan, n menunjukkan urutan suku yang ingin dicari, dan b menunjukkan beda antara angka-angka dalam barisan.
Dengan menggunakan rumus ini, kita bisa mencari nilai suku apa pun dalam barisan aritmatika dengan cepat dan mudah tanpa harus melakukan perhitungan manual yang rumit.
Rumus untuk mencari suku ke-n:
Un = U1 + (n – 1)b atau Un = a + (n – 1)b
Rumus untuk mencari nilai beda:
b = Un – Un-1
Keterangan:
Un = suku ke – n
U1 / a = suku pertama
Un-1 = suku ke n-1
B = beda
n = banyaknya suku dalam barisan
Dari rumus di atas, selanjutnya mari aplikasikan dalam contoh soal sebagai berikut:
Soal : Ada barisan aritmatika sebagai berikut 3, 7, 11, 15, … Tentukan suku ke – 10 dalam barisan tersebut!
Jawab : Diketahui bahwa
U1 = a = 3
b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4
n = 10,
maka
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)4 = 39
Sehingga dari soal di atas bisa diketahui bahwa suku ke – 10 dari barisan yang dimaksud adalah 39.
Rumus Barisan Aritmatika Lainnya
1. Rumus Cepat Mencari Suku Ke – n
Soal dan penyelesaiannya yang telah dijelaskan di atas termasuk kategori soal yang mudah karena suku pertama dan beda dapat diidentifikasi dengan mudah. Namun, ketika hanya suku pertama atau beda saja yang diketahui, menyelesaikan masalah ini menjadi lebih sulit.
Untungnya, ada rumus yang dapat digunakan untuk mempercepat perhitungan dalam kasus seperti ini. Rumusnya berbeda dengan rumus yang sebelumnya dijelaskan, dan cara menghitung barisan aritmatika dalam kondisi ini sebagai berikut.
Rumus cepat untuk mencari suku ke – n
ni =Uni-Un1+(n1 . b)b
Rumus cepat untuk mencari beda atau selisih
b =Un2-Un1n2-n1
Keterangan:
Un1 = suku yang diketahui dan n paling kecil
Un2 = suku yang diketahui dan n paling besar
Uni = suku yang diketahui namun suku ke berapa masih belum diketahui
b = beda
n1 = suku ke berapa yang paling kecil
n2 = suku ke berapa yang paling besar
ni = suku ke berapa yang ditanyakan
Dengan menggunakan rumus tersebut, meskipun suku pertama dan beda atau selisih dalam barisan belum diketahui, perhitungan akan menjadi lebih mudah. Agar lebih paham lagi, mari simak contoh soal berikut ini.
Soal : Apabila suku ke-3 bernilai 8 dan suku ke-5 bernilai 14, maka 29 akan menjadi suku ke …
Jawab : Diketahui bahwa Un1 = 8, Un2 = 14, n1 = 3 dan n2 = 5, maka
Pertama, cari beda atau selisih dalam barisan itu terlebih dahulu
b=Un2-Un1n2-n1 = 14-85-3 = 62 = 3
Jika beda sudah diketahui, selanjutnya tingga mencari suku yang ditanyakan
ni =Uni-Un1+(n1 . b)b =29-8 + (3 .3)3 =303 = 10
Dengan demikian, diketahui bahwa 29 merupakan U10 atau suku ke – 10
2. Cara Mencari Suku Pertama Barisan Aritmatika
Ada juga soal yang akan meminta kamu untuk menentukan suku pertama. Soal seperti ini sebenarnya termasuk soal yang mudah asalkan kamu paham betul dengan konsep serta rumus dasar dalam barisan ini. Jadi, kamu harus mengingat kembali rumus yang sebelumnya, yaitu Un = a + (n – 1)b.
Ambil contoh soal sebagai berikut.
Contoh Soal 1
Apabila suku keempat adalah 55 dan suku ketujuh adalah 85 dan beda dalam barisan tersebut adalah 10, maka berapakah suku pertamanya?
Untuk soal seperti ini penyelesaiannya ada dua cara, yakni dengan menyusun suku-suku yang sudah diketahui (SPLDV) atau dengan memanfaatkan beda barisan. Kedua cara akan memberikan hasil yang sama.
Namun untuk contoh di atas, mari selesaikan dengan memanfaatkan beda barisan karena cenderung lebih mudah. Sehingga pembahasannya sebagai berikut.
Diketahui: U4 = 55, U7 = 85, dan b = 10
Dengan memanfaatkan suku keempat sehingga n = 4
Un = a + (n – 1)b
U4 = a + (4 – 1)b
55 = a + 3b
55 = a + 3 (10)
a = 55 – 30 = 25
Dengan memanfaatkan suku ketujuh sehingga n = 7
U7 = a + (7 – 1)b
85 = a + 6 (10)
A = 85 – 60 = 25
Jadi, baik dengan menggunakan suku terbesar maupun dengan menggunakan suku terkecil, hasilnya ada sama, yakni 25.
Contoh Soal 2
Apabila suku kelima 27 dan suku kesembilan adalah 39, tentukan suku pertama dari barisan tersebut!
Dalam soal ini beda dalam barisan tidak diketahui dan ada tiga langkah penyelesaiannya sebagai berikut.
Langkah 1 menyusun persamaan untuk suku-suku yang diketahui
>> Untuk suku kelima atau n = 5
U5 = a + (5 – 1)b
27 = a + 4b
>> Untuk suku kesembilan atau n = 9
U9 = a + (9 – 1)b
39 = a + 8b
Langkah 2 selesaikan sistem persamaan linear yang sudah terbentuk di atas baik dengan metode substitusi maupun dengan metode eliminasi. Untuk kali ini, akan digunakan metode substitusi.
>> Persamaan (1)
a + 4b = 27 bisa diubah menjadi a = 27 – 4b
>> Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2)
39 = a + 8b
39 = 27 – 4b + 8b
4b = 39 – 27 = 12
b = 3
Langkah 3, substitusikan nilai b di atas untuk mendapatkan nilai a, bisa menggunakan persamaan (1) maupun menggunakan persamaan (2). Namun untuk pembahasan kali ini menggunakan persamaan (1).
a = 27 – 4b = 27 – 4(3) = 27 – 12 = 15
Dari ketiga langkah penyelesaian di atas, akhirnya diketahui bahwa suku pertama untuk barisan yang dimaksud adalah 15.
Barisan Aritmatika Bertingkat
Mudahnya, barisan aritmatika bertingkat adalah barisan yang nilai beda tetapnya tidak bisa langsung ditemukan di tingkat pertama sehingga nilai beda tersebut harus dicari di tingkay-tingkat berikutnya. Dalam barisan yang bertingkat ini, ada banyak sekali bisa sampai tingkat sepuluh dan seterusnya.
Apabila nilai beda tetap bisa ditemukan saat di barisan tingkat pertama, ini namanya barisan bertingkat satu. Sedangkan jika nilai beda tetap bisa ditemukan saat di barisan tingkat kedua, ini namanya barisan bertingkat dua, begitu seterusnya. Untuk mempermudah pemahaman, mari simak contoh berikut.
Barisan bilangan 1, 5, 12, 22, 35, … dari barisan bilangan ini, belum terlihat nilai beda tetapnya bukan? Dari angka 1 ke angka 4 bedanya 4, dari angka 5 ke angka 12 bedanya 7, dari angka 12 ke angka 22 bedanya 10, dan dari angka 22 ke angka 35 bedanya 13
Jadi, barisan di atas dengan bedanya dapat ditulis seperti ini
1, 5, 12, 22, 35
4 7 10 13
Sekarang, jika angka 4, 7, 10 dan 13 di atas dianggap sebagai barisan baru, akan terlihat bahwa antara suku pertama dan kedua, suku kedua dan ketiga dan seterusnya memiliki nilai beda yang tetap yakni 3 sehingga bisa menjadi seperti ini.
1, 5, 12, 22, 35
4 7 10 13
3 3 3
Dalam kasus ini, jika 4, 7, 10 dan 13 dianggap sebagai barisan tingkat 1, kemudian suku baru yang sebenarnya adalah hasil dari selisih barisan sebelumnya dianggap sebagai barisan tingkat 2, maka nilai beda tetap dari barisan tersebut dianggap ditemukan di tingkat kedua.
Mempelajari barisan aritmatika sepintas memang tampak rumit. Namun jika kamu tahu konsep dan prinsip dasarnya serta mengingat rumus-rumusnya, maka materi ini tidak akan menjadi masalah lagi. Selain itu, untuk lebih mengasah kemampuan, sering-seringlah berlatih mengerjakan soal ya.
Penjelasan Lainya Tentang Deret Matika dapat diikuti dalam tautan berikut:
- Deret Aritmatika – Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung
- Soal Deret Aritmatika Yang Perlu Anda Pelajari
